Библиотека материалов Дум Думыча

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА В ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ЗПР ПРИ ИЗУЧЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Основная профессиональная образовательная программа по специальности Коррекционная педагогика в начальном образовании

Оглавление

Введение

Необходимость адаптации людей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) к жизни в социуме закреплена в ряде международных (Европейская Конвенция о защите прав человека и основных свобод; Конвенция ООН о правах ребенка) и отечественных (Конституция Российской Федерации; Федеральный закон «О социальной защите инвалидов в Российской Федерации»; Закон Российской Федерации «Об образовании»; Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования обучающихся с ОВЗ) нормативных актов [по 42]. Большое значение в этом процессе играет система образования, одним из направлений развития которой является внедрение инклюзивного образования. Инклюзивное или включенное образование предполагает поиск путей совместного обучения в общеобразовательной школе детей с нормой развития и ОВЗ, постоянный учет способностей и потребностей каждого ученика, в том числе необходимость создания особых условий для отдельных обучающихся, имеющих особые образовательные потребности. Большую роль при этом играет поддержка членов школьного сообщества, необходимая как ученику, так и учителям для достижения успеха [29].

Особую роль в реализации инклюзивного образования играет дифференцированный подход, т.к. его использование позволяет решать задачи своевременной активной помощи детям с ограниченными возможностями здоровья за счет корректировки цели обучения, уточнения его содержания с учетом особенностей, способностей, знаний, умений и навыков конкретного обучающегося; соответствующих изменений в формах и методах обучения; расширения банка используемых средств обучения; внедрения таких критериев оценки, которые не только устанавливают уровень успешности обучения, но и оказывают воспитательное воздействие на учащихся, стимулируя их учебную деятельность, позволяя обучающимся с ОВЗ участвовать во многих классных и школьных мероприятиях наравне со своими сверстниками. Отметим, что далее вслед за Л.Н Вакиной и Г.К. Селевко будем отождествлять понятия «дифференциация обучение» и «дифференцированный подход в обучении».

Вопросы реализации дифференцированного подхода в обучении стали предметом исследования многих ученых, начиная от представителей направления гуманистической психологии А.Р. Маслоу, Р. Мей, К. Роджерса, В. Фракля до современных отечественных исследователей М.В.Васильченко, М.В. Клименко, Е.Г. Матвеевой, И.Ю. Оксина [по 1]. Большой вклад в развитие дифференциации процесса обучения внесли В.П. Беспалько, А.А. Кирсанова, Е.А. Климова, А.Н. Конева, Н.В. Новоторцева, М.Н. Скаткин, Г.Ф. Суворова, И.Э. Унт, С.Д. Шевченко и др. [40].

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования обучающихся с ОВЗ предполагает совместное обучение школьников с нормой развития и школьников, относящихся к восьми нозологическим группам, одной из которых является группа обучающихся с задержкой психического развития (ЗПР). Сложность в обучении математике младших школьников с ЗПР заключается, в том числе, в сниженной работоспособности, слабом развитии произвольной сферы, включающей умение сосредотачиваться, переключать внимание с одного вида деятельности на другой, удерживать внимание, работать по образцу. Низкий уровень абстракции, слабо развитое логическое мышление, проблемы в речи приводят к тому, что особую трудность у таких обучающихся вызывает изучение алгебраического материала. Л.Б. Стенина, Л.Н. Вакина отмечают, что одним из средств повышения эффективности изучения алгебраического материала младшими школьниками с ЗПР является использование дифференцированного подхода в обучении, обеспечивающее положительную динамику развития учащихся на уроках математики, раскрытие индивидуальных способностей каждого ребенка, что создает благоприятные условия для формирования учебных умений и навыков, для развития познавательной активности [по 16].

Методисты, описавшие особенности изучения алгебраического материала в начальной школе: П.У. Байрамукова, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, Н.Б. Истомина, А.М. Полевщикова, Л.П. Стойлова, А.У. Уртенова, С.Е. Царёва [43], в том числе особенности изучения алгебраического материала обучающимися с ЗПР В.Ф. Базарный, С.А. Изюмова, Н.А. Менчинская, Л.И. Новикова, Е.С. Рабунский [8].

Использованию дифференцированного подхода в обучении младших школьников посвящены исследования Т.А. Жихаревой, А.Л. Сиротюк.

Несмотря на большое количество теоретических исследований, остается не до конца решенным вопрос реализации дифференцированного подхода в обучении младших школьников с задержкой психического развития алгебраическому материалу в практике обучения математике, что подтверждают результаты наблюдения за деятельностью учителей в ходе различных видов педагогической практики, а также собственный педагогический опыт.

Проблема исследования заключается в поиске условий, при которых реализация дифференцированного подхода в обучении младших школьников с ЗПР будет способствовать повышению эффективности изучению ими алгебраического материала.

Объект исследования – процесс изучения младшими школьниками с ЗПР алгебраического материала.

Предмет исследования – дифференцированный подход в обучении младших школьников с ЗПР как средство повышения эффективности изучения алгебраического материала.

Цель – выявить условия, при которых при которых реализация дифференцированного подхода в обучении младших школьников с ЗПР будет способствовать повышению эффективности изучению ими алгебраического материала.

Гипотеза исследования: реализация дифференцированного подхода в обучении младших школьников с ЗПР будет способствовать повышению эффективности изучения ими алгебраического материала, если:

• обеспечить взаимосвязь индивидуальной, групповой и фронтальной работы обучающихся;

• групповую работу организовать на основе комплектования разноуровневых групп с учетом уровня умственного развития учащихся и их потенциальных возможностей;

• при определении содержания домашней использовать возможности интерактивных тренажеров.

Цель и гипотеза исследования определили следующие его задачи:

1. На основе анализа научной литературы по теме исследования выявить сущность дифференцированного подхода в обучении.

2. Проанализировать психолого-педагогические аспекты обучения математике младших школьников с ЗПР.

3. Обобщить различные подходы к методике изучения алгебраического материала в начальном курсе математики.

4. Выявить приемы реализации дифференцированного подхода младшими школьниками с ЗПР. Составить фрагменты уроков, соответствующие предмету исследования.

5. Провести и проанализировать опытно - педагогическую работу по проверке справедливости гипотезы исследования.

Методы исследования:

Теоретические: анализ теоретических положений, их обобщение, систематизация, классификация.

Эмпирические: беседа с учителем, наблюдение за деятельность обучающихся, диагностическая контрольная работа.

Практическая значимость работы заключается в описании приемов реализации дифференцированного подхода при изучении младшими школьниками с ЗПР алгебраического материала, которые могут быть использованы на уроках по соответствующим темам учителями начальных классов.

Глава 1. Теоретические основы дифференцированного подхода в обучении

1.1. Сущность дифференцированного подхода в обучении

Одним из важных направлений повышения эффективности образовательного процесса в начальной школе является индивидуализация обучения, определяемая как «...организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению» [2, c.116]. Массовая школа не может в полной мере учитывать индивидуальность, приспосабливаться к каждому отдельному ученику, вследствие чего индивидуализация обучения осуществляется в условиях коллективной учебной работы в рамках общих задач и содержания обучения. Поскольку та или иная индивидуальная особенность часто является типической, т.е. характерной для нескольких учеников, то индивидуальный подход может осуществляться к группе школьников, отличающихся одними и теми же особенностями. В педагогике такой подход называется дифференцированным. В этом случае дифференцированный подход в обучении понимается как один из основных вариантов инди­видуализации обучения [43]. Придерживаясь данной трактовки соотношения понятий «индивидуальный подход» и «дифференцированный подход» обучения, отметим, что отдельные ученые, утверждают, что дифференциация является родовым понятием и включает в себя индивидуализацию как понятие видовое, в некоторых исследованиях понятие дифференциации сходно с понятием индивидуализации обучения [8].

Впервые понятие «дифференцированный подход» в обучении появилось за рубежом в начале двадцатого века. Основателями его считают представителей направления гуманистической психологии К. Роджерса, А. Маслоу, Р. Мей, В. Фракля. В то же время, еще в дореволюционной России школа была дифференцированной. Существовало шесть типов средних учебных заведений: мужские гимназии, женские гимназии, реальные училища, коммерческие училища, кадетские корпуса и епархиальные училища. Дифференциация реализовывалась в основном по сословному признаку [по 28].

После революции идеи дифференцированного обучения были заложены в основу построения новой школы, отмечалась возможность деления коллектива учащихся, начиная с 14 лет, на группы. С тридцатых годов попытка дифференцировать учащихся по способностям сочеталась с курсом на трудовую подготовку. Для учащихся первой ступени, не справлявшихся с типовой учебной программой, общеобразовательные дисциплины преподавались сокращенно, но увеличивалось количество практических занятий в школьных мастерских. Профессионализация школы второй ступени осуществлялась через введение профуклонов, учащиеся которых должны были проходить практику на различных предприятиях, получать консультации и инструктаж у работающих там специалистов [29]. Кроме того, в связи с дифференциацией учащихся по способностям и интересам вводилось углубленное изучение отдельных предметов. В учебном процессе реализовывалась обязательная для всех учащихся программа-минимум и необязательная, по выбору, программа-максимум. Ученики могли работать в том темпе, который соответствовал их индивидуальным возможностям.

В 30-50-х годах был определен курс на единообразие школы, жесткую регламентацию всего учебно-воспитательного процесса [7]. Эксперименты в области дифференцированного обучения прекратились.

Вновь активно идеи дифференцированного обучения стали разрабатываться в 50-е годы, что обусловлено демократизацией жизни страны, введением в систему народного образования средних школ с производственным обучением. По инициативе А.М. Арсеньева, Н.К. Гончарова, М.А. Мельникова начался широкий эксперимент по дифференциации обучения в школах Москвы и Московской области. Инициаторы экспериментов исходили из того, что дифференцированное обучение может стать гибкой формой среднего образования, отвечающей общественным интересам и удовлетворяющей интересам учащихся, будет способствовать улучшению подготовки молодежи к практической деятельности [9].

В конце 60-х годов дифференцированный подход к учащимся начальных классов был направлен главным образом на ликвидацию второгодничества. Основное внимание уделялось работе с отстающими учениками на уроке и вне урока [27]. Методика работы с выделенными по уровню успеваемости группами сводилась в основном к тому, что неуспевающих учеников «натаскивали» в выполнении типовых заданий, а сильным предоставляли возможность как можно больше работать самостоятельно. Позднее стали оговаривать, что группы не являются постоянными, ученикам перестали сообщать, к какой группе они отнесены, что позволило минимизировать вред, наносимый развитию учащихся [13].

Наиболее интенсивная разработка дифференцированого подхода началась с 80-х годов двадцатого века. П.П. Блонским, И.И. Резвицким, Б.М. Тепловым, И.С. Якиманской. А.В. Мудриком, И.С. Коном и другими была разработана модель дифференцированного образования в связи с трактовкой воспитания как субъект субъектного отношения [по 42].

В настоящее время ряд учёных (Н.А. Алексеев, Е.В. Бондаревская, Д.А. Белухин, И.Д. Демакова, А.М. Кушнир, Е.В. Куканова, С.В. Панюкова, И.С. Якиманская, В.Д. Шадриков и др.) исследуют и разрабатывают концепции, модели, технологии дифференцированного подхода в обучении, при этом рассматривая его с нескольких точек зрения:

• процесса обучения: отбор форм, методов и приемов обучения (Е.В. Бондаревская) [17];

• содержания образования: создание учебных планов, программ, учебной литературы и составления заданий, предъявляемых учащимся (Н.И. Колесникова) [по 16];

• построения школьной системы: формирование различных типов школ и классов (Е.В. Низовских) [26];

педагогического воздействия (P.Ю. Волковыский) [по 30].

Несмотря на большое число трактовок понятия «дифференцированный подход в обучении», в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования обучающихся с ОВЗ зафиксировано определение, которого будем придерживаться в работе: «Дифференцированное обучение – это форма организации учебного процесса, при которой учитель работает с группой учеников, составленной с учетом наличия у них каких-либо значимых для учебного процесса общих качеств» [39, с. 94].

С точки зрения Е.В. Бондаревской, З.И. Васильевой, В.В. Серикова, М.Н. Скаткина, И.А. Колесниковой и др. дифференцированный подход в обучении включает в себя категории цели, содержания образования, методов и технологий обучения, способов организации деятельности преподавания и учения, критериев эффективности образовательного процесса [6].

Т.В. Машарова отмечает, что цели использования дифференцированного подхода можно выделить с различных позиций:

1. психолого-педагогической – индивидуализация обучения, основанная на создании оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей каждого учащегося;

2. дидактической (методической) - решение назревших проблем школы путем создания новой методической системы дифференцированного обучения, основанной на принципиально иной мотивационной основе;

3. социальной – целенаправленное воздействие обучения на формирование творческого интеллекта, профессионального потенциала общества в целях рационального использования возможностей каждого члена общества [по 26].

Достижение данных целей возможно в рамках реализации различных моделей дифференциации обучения, сложившихся в мировой практике:

• модель потоков: несколько классов, выделенных по уровню сложности преподавания предмета, в соответствии с уровнем интеллектуальных способностей учащихся, определяемых на основе тестов и наблюдения, строго поделенных на разные потоки, работают в одной и той же школе. В данной модели нормы отбора строго определены, а возможности перехода с одного уровня на другой ограничены. Особенно сложно детям переходить на более высокий уровень. Классы группируются на учебный год, а иногда и на весь период обучения в школе;

• модель гибкого состава классов: по ряду предметов ученики занимаются в одноуровневых классах (отнесение ученика к определенному уровню производится так же, как и в первой модели), а по другим – в разнородных группах, причем отбор в разнородные классы может быть произвольным;

• интегративная модель: ученики с разными способностями помещаются в разноуровневый класс, задача учителя – учесть при работе с классом особенности всех учащихся и подобрать каждому свою программу обучения и скорость изучения материала;

• модель разнородных классов предполагает, что ученик по всем предметам учится в разнородном классе. Учебный материал сгруппирован в модули, продолжительностью около пяти недель. По окончании изучения модуля проводится оценка знаний и умений учащихся, на основе которой одним ученикам дается материал для углубленного изучения, другим – коррекционные задания [11].

И.Э. Унт определила, что главным условием эффективной реализации дифференцированного подхода вне зависимости от реализуемой модели является правильный выбор оснований дифференциации обучения, при этом под основаниями дифференциации понимаются те деятельностные (результаты обучения и т.п.), психологические (типологические свойства нервной системы и т.п.), мотивационные (уровень и причины мотивации), организационные (структура неформальных связей между обучаемыми) характеристики обучаемых, которые служат критериями отнесения их к той или иной типовой группе [40].

А.В. Матвеев предполагает осуществление дифференциации обучения:

• по общим способностям (на основе учета общего уровня обученности, развития учащихся, отдельных особенностей психического развития: памяти, внимания, мышления, познавательной активности;

• по частным способностям (предусматривает различия учащихся по способностям к тем или иным областям (предметам): к гуманитарным, точным, и т.д.);

• по неспособностям (подразумевает коррекционную работу в специальных группах (классах) [23].

По данным основаниям можно осуществлять как внешнюю, так и внутреннюю (уровневую) дифференциацию обучения, которые сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного образования. Внешняя дифференциация предусматривает организацию обучения в классах (школах) с однородным (гомогенным) составом учащихся, следовательно, преподавание предметов ведется по программам, рассчитанным на один уровень учебных возможностей обучающихся. Кроме дифференциации по способностям, внешняя дифференциация может осуществляться по интересам, по проектируемой профессии (профильная дифференциация) [39]. С.Е. Покровская подразделяет внешнюю дифференциацию на селективную (реализуется в профильных группах или группах с углублённым изучением некоторых предметов) и элективную (предлагает обучаемым свободный выбор предметов на основе базового образования) [32].

Под внутренней (уровневой) дифференциацией понимается такая организация учебного процесса, при которой индивидуальные особенности школьников (различия в способностях, круге интересов, психическом развитии, уровне знаний; особенности памяти, мышления; сформированность мотивации и т.д.) учитываются в условиях организации учебной деятельности на уроке в одном классе [37]. С.Е. Покровская выделяет одноуровневую и многоуровневую внутреннюю дифференциацию. Если при одноуровневой внутренней дифференциации все школьники овладевают базовым программным материалом, то при многоуровневой внутренней дифференциации учащиеся, занимаясь по одной из учебных программ, усваивают её на различных уровнях (но не ниже уровня базового стандарта) [32]. Далее будем говорить о многоуровневой внутренней дифференциации обучения, так как именно этот вид дифференциации реализуется в процессе обучения в начальной школе.

К методологическим принципам, лежащим в основе технологии уровневой дифференциации, В.М. Монахов, В.А Орлов и В.В. Фирсов относят:

• отказ от «селекции» школьников, их обучение в едином разнородном коллективе;

• формирование опоры, обеспечивающей всем учащимся независимо от способностей, овладение базовой системой знаний, умений;

• выделение и открытое предъявление всем участникам учебного процесса уровня обязательной подготовки по типу «ученик должен»;

• введение повышенного уровня требований по типу «ученик хочет и может»;

• «ножницы» между уровнем обязательных требований и уровнем обучения, поскольку учебный процесс не должен быть ограничен обязательными требованиями и результатами обучения;

• явное признание права ребенка на выбор уровня усвоения материала;

• соответствие содержания, контроля и оценивания знаний уровневому подходу, в соответствии с которым контроль должен предусматривать проверку у всех учащихся достижения уровня обязательной подготовки, дополненной проверкой усвоения материала на более высоком уровне [30].

При соблюдении данных методологических принципов реализуются основные функции уровневой дифференциации: дидактическая, воспитательная и развивающая. Их взаимосвязь позволяет в полной мере реализовать идею развития личности ученика как субъекта не только учения, но и жизни. Овладевая учебным материалом, обучающийся находит в нем свой личностный смысл, формируются некоторые универсальные способы мыследеятельности (понимание, нахождение личностных смыслов, рефлексия и т.п.), а не просто усваиваются некоторые понятия и алгоритмы [32].

Осуществляя дифференциацию содержания необходимо ориентироваться на базовый уровень подготовки, задающий обязательные результаты обучения, которые должны быть достигнуты всеми учащимися, т.к. его достижение свидетельствует о выполнении учеником необходимых требований к усвоению содержания учебного предмета; на его основе формируется более высокое овладение учебным материалом. При этом учащиеся имеют возможность многократного изменения уровня усвоения изучаемого материала в течение учебного года. Исходя из этого, работая в условиях реализации дифференцированного подхода в обучении, учитель может разделить обучающихся на две группы по уровню осваемого ими содержания: группа базового уровня (задания репродуктивного и конструктивного уровней) и группа повышенного уровня (задания репродуктивного, конструктивного и творческого уровней) [4].

В условиях общеобразовательного класса дифференциация содержания достигается за счет формулирования дифференцированных (разноуровневых) заданий. Как указывает И.П. Махова, дифференцированное задание должно:

• соответствовать современному содержанию предмета, применительно к школьной программе;

• обеспечивать усвоение знаний и создавать условия для формирования способов деятельности;

• предусматривать развитие мыслительной деятельности и создавать необходимые условия для развития познавательной самостоятельности;

• предполагать развитие ценностного отношения к миру и деятельности в соответствии установленным критериям сложности [30].

Дифференциация заданий позволяет, во-первых, следить за усвоением знаний каждым учеником, что способствует оказанию своевременной помощи школьникам, во-вторых, способствует повышению мотивации учения за счет того, что «сильные» ученики выполняют задания, требующие большого напряжения и способствующие получению дополнительной информации, а «слабые» получают удовлетворение от успеха при работе с более доступным материалом.

При этом свободный выбор разноуровневого задания предполагает умение ученика правильно соотнести свои возможности со степенью трудности его выполнения. В.И. Загвязинский обосновал необходимость системы постепенного и последовательного приучения школьников к самостоятельному выбору вариантов заданий, выделив три основных этапа такой подготовительной работы:

1. Степень трудности заданий указывает учитель, он же для учеников выбирает варианты заданий;

2. Степень трудности указывается учителем, а учащийся сам выбирает задание;

3. Степень трудности определяется учениками, и они на основании этого сами производят выбор [по 17].

На наш взгляд, в начальной школе могут быть достигнуты 1 и 2 этапы данной подготовительной работы. В.И. Загвязинский считает, что при реализации дифференцированного подхода в обучении, учитель также сталкивается с проблемой отбора учащихся в группы. При разделении учащихся, с одной стороны, необходимо учитывать желание самих учеников учиться на том или ином уровне, с другой, учитывать его возможности и способности. Для того, чтобы желание ученика не расходилось с его возможностями, надо дать учащимся шанс проявить себя, оценить свои силы и возможности [по 16].

Говоря об использовании различных форм обучения при реализации дифференцированного подхода, стоит отметить, что важной предпосылкой осуществления дифференцированного подхода является направленность обучения на формирование личности ученика, предполагающую действенное внимание к каждому ученику, его индивидуальности на каждом уроке. Следовательно, перед учителем стоит цель: опираясь на организацию индивидуальной деятельности учеников, как основу процесса обучения, помочь каждому обучающемуся включиться в совместный учебный труд за счет рационального использования фронтальной и индивидуальной форм деятельности [42].

Для определения того, достигнуты ли поставленные цели, формулируемые через результаты обучения и выражаемые в действиях учащихся, в соответствии с выделенными уровнями для учеников составляются обучающие задания и проверочные работы [5]. Задание каждого уровня при проверке знаний оценивается разным количеством баллов. Контроль за усвоением учебного материала осуществляется постоянно. При этом используются различные его формы (фронтальный опрос, тест, выполнение контрольных работ и т.д.).

М.К. Акимова, Ю.К. Бабанский и В.П. Беспалько выделяют следующие положительные стороны реализации дифференцированного подхода в обучении: повышение уровня мотивации учения, развитие индивидуальных склонностей обучающихся, облегчения учения и усвоения предметного материала, повышение уровня учебных достижений за счет объединения учеников в группы по способностям, а следовательно, с одной стороны, активизация «сильных» учащихся на более углубленное изучение учебного материала, с другой, стимулирование возникновение интереса к предмету у «слабых» учеников за счет возникновения ситуации успеха. Учитель в то же время получает возможность: помогать слабому ученику, создать оптимальные условия для более сильных; не снижать общий уровень преподавания; эффективно работать с учениками, которые плохо адаптируются к общественным нормам [по 33].

Отметим также, что проблема реализации дифференцированного подхода в обучении носит творческий характер и связана с объективно существующими противоречиями между общими для всех школьников целями, содержанием обучения и индивидуальными возможностями каждого ребенка, между фронтальным изложением материала учителем и индивидуальными особенностями восприятия, памяти, интересов, определяющими индивидуальный характер освоения материала конкретным ребенком.

Таким образом, дифференцированный подход в обучении имеет многолетнюю историю, подходы к его определению разнятся не только в отечественной педагогике, но и зарубежом, что подчеркивается многообразием моделей дифференцированного обучения. Анализ видов дифференциации позволил утверждать, что в начальной школе реализуется многоуровневая внутренняя дифференциация. Рассмотрим далее приемы, посредством которых можно реализовать дифференцированный подход при совместном обучении младших школьников с нормой развития и ЗПР.

1.2. Особенности обучения математике младших школьников с ЗПР. Реализация дифференцированного подхода в обучении младших школьников с ЗПР

Раскрыв сущность дифференцированного подхода в обучении, перейдем к рассмотрению особенностей обучения младших школьников с ЗПР посредством его реализации. Прежде всего раскроем сущность понятия «задержка психического развития» и особенности обучения школьников с ЗПР.

Задержка психического развития (ЗПР) – одна из наиболее распространённых форм психических нарушений. Впервые исследователи обратили внимание на данное нарушение еще в прошлом столетии, так в отечественной психологии с конца 50-х годов XX века изучением детей с ЗПР занимались такие отечественные психологи, как Т.А. Власова, М.С. Певзнер, К.С. Лебединская, В.И. Лубовский и др. Непосредственно термины “задержка темпа психического развития”, “задержка психического развития” были предложены Г.Е. Сухаревой.

С точки зрения психологии задержка психического развития была определена В.Б. Никишиной как «особый тип психического развития ребенка, характеризующийся незрелостью отдельный психических и психомоторных функций или психики в целом, формирующийся под влиянием наследственных, социально-средовых и психологических факторов» [26].

Педагогическую трактовку этого термина дала С.Г. Шевченко, понимая под задержкой психического развития «отставание в психическом развитии, которое с одной стороны, требует специального коррекционного подхода к обучению ребенка, с другой – дает возможность обучения ребенка по общей программе усвоения им государственного стандарта школьных знаний» [24].

Рассмотрим далее особенности обучения младших школьников с ЗПР. Отметим, что в целом младшему школьному возрасту характерны такие психологические особенности, как импульсивность, склонность незамедлительно действовать, не подумав, не взвесив всех обстоятельств; общая недостаточность воли – школьник 7-8 лет еще не умеет длительно преследовать намеченную цель, упорно преодолевать трудности [3]. Многочисленными исследователями, в том числе Г.П. Бертынь, З.М. Дунаевой, И.Ф. Марковской, М.С. Певзнер, М.М. Рай­ской и др., был выявлен ряд специфических особенностей детей с задержкой психического развития в их познавательной, эмоционально-волевой деятельности, поведении и личности в целом: сниженная работоспособность, замедленность восприятия, неустойчивость внимания, увеличение периода для приема и переработки информации, ограниченный запас общих сведений и представлений, недостаточность произвольной памяти, отсутствие умения использовать вспомогательные средства для запоминания, несформированность навыков интеллектуальной и игровой деятельности, трудности в выполнении словесно-логических операций, низкие навыки самоконтроля, незрелость эмоционально – волевой сферы, бедный словарный запас и дефекты звукопроизношения.

Обучающиеся с ЗПР тяжело входят в рабочий режим урока. Рабочее состояние детей с задержкой психического развития, во время которого они способны усвоить учебный материал и правильно решить те или иные задачи, кратковременно (15–20 мин). При организации процесса обучения следует помнить, что обучающиеся с ЗПР в периоды нормальной работоспособности решают многие практические и интеллектуальные задачи на уровне своего возраста, способны воспользоваться оказанной помощью, умеют осмыслить сюжет иллюстрации, разобраться в условии простой задачи, производить группировку предметов, устанавливать причинно-следственные связи и выполнить множество других заданий [10]. В целом дети с ЗПР тяготеют к механической работе, не требующей умственных усилий: заполнение готовых форм, составление задач по образцу с изменением лишь предметных и числовых данных и др. Однообразные действия, не механические, а связанные с умственным напряжением, быстро утомляют обучающихся. В то же время у этих обучающихся отмечается недостаточная познавательная активность, которая в сочетании с быстрой утомляемостью может серьезно тормозить их обучение и развитие [12]. Потеря работоспособности вызывает затруднения в усвоении учебного материала: школьники с ЗПР не удерживают в памяти условия задачи, забывают слова, нередко вместо решения задачи просто механически манипулируют данными. Таким образом, небольшой объем знаний, который детям удается приобрести в период нормальной работоспособности не связывается с последующим материалом, недостаточно закрепляется. Знания во многих случаях остаются неполными, отрывистыми, не систематизируются. Вслед за этим у обучающихся развивается крайняя неуверенность в своих силах, неудовлетворенность учебной деятельностью. В самостоятельной работе они теряются, начинают нервничать и не могут выполнить даже элементарных заданий [14].

ФГОС НОО обучающихся с ОВЗ предъявляет ряд требований к обучению младших школьников с ЗПР, позволяющих минимизировать влияние описанных выше факторов. Приведем те из них, которые нужно учитывать при обучении математике:

• наглядно-действенный характер содержания образования;

• упрощение системы учебно-познавательных задач;

• специальное обучение «переносу» сформированных знаний и умений в новые ситуации взаимодействия с действительностью;

• необходимость постоянной актуализации знаний, умений;

• обеспечение особой пространственной и временной организации образовательной среды;

• использование преимущественно позитивных средств стимуляции деятельности и поведения;

• стимуляция познавательной активности, формирование потребности в познании окружающего мира и во взаимодействии с ним [41].

В то же время, вследствие интегрированного обучения детей с нормой развития и детей с ЗПР возникают затруднения в организации учебной деятельности в соответствии с этими требованиями. Одним из средств, способствующих устранению данного противоречия, как было обосновано во введении, является реализация дифференцированного подхода в обучении младших школьников. Рассмотрим некоторые приемы, дифференциации обучения при организации различных форм учебной деятельности.

И.Д. Бутузов определил, что, организуя работу в классе с обучающимися с ЗПР по изучению нового материала, необходимо разбивать его на небольшие по объему и завершенные по смыслу части, постепенно от 1 к 4 классу усложняя содержание и увеличивая (часто незначительно) объем выделяемых блоков. Усвоению материала внутри каждого блока способствует использование в ходе фронтальной работы дополнительных наводящих вопросов, увеличение числа наглядности, введение опорных и обобщающих схем, карточек-помощниц, составляемых в соответствии с характером затруднений при усвоении учебного материала, осуществление адресной помощи в выполнении отдельных учебных действий, организация поэтапной проверки при выполнении заданий [27].

Ученики с ЗПР в ходе фронтальной работы должны постоянно находиться в поле зрения учителя, даже получив правильный ответ от ученика с нормой развития, учитель должен убедиться в том, что обучающийся с ЗПР понял, о чем идет речь, обратившись с вопросом непосредственно к нему, сформулировав для такого ученика аналогичное задание [18]. При этом нужно помнить, что ученику с ЗПР, прежде чем выполнить устное задание, в большинстве случаев нужно выслушать его еще раз. Как было сказано выше, младшие школьники с ЗПР, как правило, имеют маленький словарный запас и не всегда могут грамотно сформулировать предложение, поэтому организуя фронтальную работу в классе, где есть ученики данной категории, нужно включать на различных этапах урока задания вида: «Закончи предложение…», «Вставь пропущенные слова (числа)…», «Составь равенства из данных чисел…» и т.д.

Работа по формированию деятельности, связанной со словесными инструкциями должна предусматривать обеспечение полного и адекватного понимания детьми формулировок заданий, которые часто содержат слова и сочетания, понимание которых (особенно при самостоятельном выполнении) затруднено для учеников с ЗПР [19]. Следовательно, учителю необходимо предварительно объяснить ученикам трудные для понимания термины, формулировки, даже если ученики с нормой развития их уже усвоили, а затем добиться того, чтобы ученик смог своими словами рассказать о том, что требуется выполнить, не пропуская ни одного шага инструкции.

В организации Ю.К. Бабанский предлагает особое внимание уделять обучению школьников с ЗПР анализу образца: для того, чтобы научить детей умению видеть (находить) образец в данном тексте, им нужно указать на то, что в разных заданиях образец может иметь разное местонахождение: в начале, в конце или в середине текста; показать, что образец может быть выделен по-разному: обозначен специальным словом или символом, выделен в тексте другим шрифтом; разобрать, что показывает данный конкретный образец, выполняя действия по образцу сначала с одним заданием, а затем обобщая его на класс выполняемых заданий. Нужно добиться, чтобы ученик с ЗПР возвращался к образцу на каждом этапе деятельности: «Правильно ли я сделал, так ли у меня получилось, как в образце?», что позволит своевременно находить и устранять ошибки, связанные с его выполнением. Структура образца, предоставляемого ученику с ЗПР на карточке-помощнице, не должна значительно варьироваться [20].

М.А. Гаврильченко утверждает, что на уроках в классах с обучающимися с ЗПР необходимо чаще, чем в однородных классах с учениками с нормой развития, использовать элементы игровой технологии. Сюжет игры для обучающихся с ЗПР должен быть прост, опираться на их жизненный опыт. Правила (инструкции, требования) – минимальны и понятны. Инструкция, предъявленная всему классу в словесной форме, предоставляется ученикам с ЗПР дополнительно на карточке. При подборе игр математического содержания нужно соблюдать определённую последовательность (играм с более трудными математическими заданиями должны предшествовать подготовительные игры с заданиями меньшей степени трудности). Зная, что у обучающихся с ЗПР трудно длительное время поддерживать интерес к одному виду деятельности (игре), необходимо больше внимания уделять играм с различными вариантами – одну и ту же игру следует видоизменять, что позволит снять трудности в усвоении правил и сохранить к ней интерес. Задания в играх можно индивидуализировать, даже если они предполагают фронтальную работу. Если ребенок испытывает трудности при усвоении некоторых математических представлений и понятий, для него в игре необходимо подобрать посильное задание. Выполнение небольшого задания вселит уверенность, активизирует ребенка на выполнение более сложных заданий. Детям, успешно овладевающим математическими знаниями и умениями, следует давать в игре более сложное задание, чтобы и у них поддерживался интерес к игре. Примеры дидактических игр представлены в приложении А.

Большую роль в обучении школьников с ЗПР играет использование занимательного материала: загадок, пословиц, скороговорок, считалок, стихов и др. (Приложение Б). Эта работа нравится не только младшим школьникам с ЗПР, но и их нормально развивающимся сверстникам.

Организуя индивидуальную работу обучающихся следует помнить о том, что школьники с ЗПР с трудом удерживают в памяти условие и требование задания [22]. Поэтому, данной группе младших школьников задание, сообщенное словесно всему классу, предоставляется дополнительно на карточке-помощнице, сопровожденное рекомендациями по его выполнению, что позволит снизить уровень тревожности и неуверенности обучающегося, т.к. ученики с ЗПР часто приступая к выполнению задания долго сомневаются, боясь, что, неправильно поняли инструкцию, неверно выполнят задание. Карточка-помощница для обучающихся с ЗПР должна быть: проста по содержанию, удобна для восприятия, снабжена при необходимости наглядным материалом (иллюстрациями, схемами и т.д.), развернутым алгоритмом, а на первых этапах и образцом по выполнению задания [21]. Пример карточки-помощницы для учеников с нормой развития и с ЗПР представлен в приложении И.

При организации групповой работы необходимо помнить, что у детей с ЗПР уровень коммуникативного опыта значительно ниже, чем у их нормально развивающихся сверстников. О.А. Алексеева отмечает, что процесс совместной деятельности младшего школьника с ЗПР протекает успешно, только с партнером хорошо знакомым и эмоционально совместимым. В других случаях учащиеся с ЗПР часто отказываются работать совместно, не обращают внимания на товарища по группе. Для упрощения взаимодействия младших школьников с ЗПР пары или группы должны иметь относительно постоянный состав, подбор участников должен осуществляться с учетом общих интересов, психологической совместимости; наполняемость групп также существенно отличается, что показано в таблице 1.

Таблица 1 – Наполняемость групп в зависимости от их состава

Вид группы	Обучающиеся с нормой развития	Обучающиеся с нормой развития и ЗПР
Особенности наполнения	4-10 человек размер определяется целью и особенностями организации групповой работы	4-6 человек размер определяется исходя из требований СФГОС, с учетом особенностей развития коммуникативной сферы обучающихся с ЗПР

По указанным выше причинам, ограничено и количество ролей, выполнение которых в группе доступно обучающемуся с ЗПР. Особенности распределения ролей с указанием их функции представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Распределение ролей в группе при организации групповой работы с обучающимися с нормой развития и с ЗПР

Должность	Функция	Обучающиеся
		с нормой развития	с ЗПР
«спикер»	после выполнения задания от имени своей группы представляет выполненное задание (может меняться после каждого выполненного задания)	+	-
«секретарь»	записывает задания, возможно в группе присутствие двух секретарей	+	-
«оценщик»	наблюдает за работой каждого члена группы, оценивает по заданным учителем в карте оценивания критериям	+	-
«хронометражист»	засекает время, отведенное для выполнения каждого задания	+	+
Группа 2 вида (6 человек)
организатор (лидер)	организует работу группы	+	-
секретарь	оформляет решение группы	+	-
помощник секретаря	записывает все предложения членов группы	+	+
спикер	представляет результаты работы группы	+	-
помощник спикера	следит за выполнением правил в группе	+	+
хранитель времени	следит за соблюдением регламента работы группы	+	+
Каждый участник одновременно выступает в роли «генератора идей», «понимающего», «критика»

Большое значение при организации групповой работы в классах с обучающимися с ЗПР имеет рациональное распределение учебного материала на этапе индивидуальной работы, особенности структурирования и распределения которого представлены в таблице 3.

Таблица 2 – Структурирование и распределение учебного материала для организации групповой работы в классах с обучающимися с ЗПР

	Вид группы
	Однородная	Неоднородная (с обучающимся с ЗПР)
Структурирование учебного материала	Учебные блоки примерно одинаковы по размеру и содержанию	Учебные блоки различны по размеру и содержанию. Блок для обучающихся с ЗПР: меньше по объему; проще по содержанию; снабжён большим количеством разнообразного наглядного материала, примеров; содержит дополнительно карточки-помощницы с развернутым алгоритмом
Распределение учебного материала	Возможность самостоятельного выбора блока	Учитель руководит распределением учебного материала между участниками группы
Каждый ученик группы осваивает один блок, при этом все группы осваивают один и тот же материал

На первом этапе работы группы обучающиеся самостоятельно изучают определённый блок учебного материала. Затем внутри рабочей группы, делятся полученной информацией, обобщают и систематизируют её в предложенном виде (схема, таблица, памятка, кластер и т.д.). На втором этапе спикеры групп проводят встречу экспертов под руководством учителя для обмена полученными результатами. Эксперты возвращаются в свои группы и передают полученные знания другим членам группы, участники группы внимательно слушают экспертов, задают вопросы, фиксируют необходимую информацию, дорабатывают продукт деятельности. Группа готовит и представляет результаты своей работы, отстаивает свою позицию.

Организуя обратную связь с классом, учителя часто используют сигнальные карточки различных видов, с помощью которых дети выполняют задание, либо оценивают его правильность. Удобство и эффективность их заключаются в том, что сразу видна работа каждого ученика. Для обучающихся с нормой развития используется две карточки (две стороны одной карточки), для обучающихся с ЗПР таких три карточки («согласен», «не согласен», и дополнительно «нужна помощь»), при этом целесообразно значение карточки для ученика с ЗПР показывать не только цветом, но и используя соответствующие знаки.

Рисунок 1 – Сигнальные карты для учеников с нормой развития и с ЗПР

Взаимосвязь между различными формами организации деятельности на уроке можно реализовать за счёт построения индивидуальных маршрутов деятельности (маршрутных листов). Вообще, маршрутный лист – это список заданий, разного уровня сложности (от простого к сложному). В маршруте часто прописывается не только задание, но и инструкция по его выполнению. Маршрутный лист для обучающегося с ЗПР: проще, нагляднее, с пометкой куда обратиться за ответом, как самому правильно выбрать и сформулировать ответ или сделать задание, решить задачу, выполнить тест и т.д. Работая по «Маршрутному листу», ученик с ЗПР не попадает в ситуацию неожиданного вопроса, у него есть время подумать, подготовить ответ. Пример одного из маршрутных листов представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Пример организации взаимосвязи между различными формами организации деятельности посредством построения индивидуальных маршрутов

Отметим, что первый маршрут рассчитан на «сильного» ученика, третий – на обучающегося с ЗПР, при этом учитель не ограничивает школьников в выборе маршрута на первом этапе, но может предложить изменить маршрут по мере продвижения по нему.

Выполнение домашнего задания является необходимым условием работы с обучающимися. Организуя домашнюю работу, учитель должен помнить, что учебная мотивация детей с ЗПР достаточно низкая, следовательно, задания для домашней работы должны быть максимально интересны учащимся, пробуждать у них стремление к самостоятельной учебной деятельности, развивать кругозор. В то время, как ученикам с нормой учитель в большинстве своем дает домашнее задание по учебнику или ТПО, обучающемуся с ЗПР нужно чаще предлагать индивидуальные задания на карточках, которые, в том числе, позволят ликвидировать выявленные пробелы в знаниях, отработать и закрепить пройденный алгоритм. При этом у ученика должны быть четкие инструкции по выполнению задания, предусматривающие необходимость осуществления пошагового самоконтроля. Если задание учитель предлагает выполнить по учебнику или ТПО, то оно должно быть проще, чем для обучающихся с нормой, меньше по объему. Предполагается, что выполнение домашнего задания для ученика с ЗПР может быть отложено во времени (не к следующему уроку, а через урок, 2 урока).

При организации домашней работы обучающихся с ЗПР можно активно использовать интерактивные тренажеры (компьютерные учебные программы), подобранные по одной теме и направленные на отработку определенных умений, развитие интуиции, творческих способностей. Интерактивный тренажер должен быть прост и понятен. В то же время, используя интерактивные тренажеры при организации домашних работ, кроме карточки-помощницы для ученика учитель должен подготовить инструкцию по прохождению для родителей с указанием цели, особенностей организации деятельности по работе с тренажером, результатов, которые должны быть достигнуты, санитарно-гигиенических требований, которых нужно придерживаться, описанных на понятном родителям языке. Примеры интерактивных тренажеров представлены в приложении В.

Кроме интерактивных тренажеров В.Г. Дмитриева предлагает для учеников с ЗПР разрабатывать персональные тетради-тренажеры. Тетради выдаются ученикам с указанием срока на выполнение задания, через определенное время учитель собирает тетради с ответами, а после урока подсчитывает и фиксирует количество верных ответов в специальной «Таблице успехов» [13].

Таким образом, на основе изучения психолого-педагогической литературы по теме исследования были описаны приемы, посредством которых можно реализовать дифференцированный подход при совместном обучении младших школьников с нормой развития и ЗПР, ч том числе обоснована возможность рационального сочетания различных форм обучения, особенности организации групповой работы в смешанных группах обучающихся с нормой развития и обучающихся с ЗПР, выявлены возможности интерактивных тренажеров для организации домашней работы младших школьников с ЗПР как средства ее дифференциации.

Обосновав на теоретическом уровне возможность выполнения условий гипотезы при обучении младших школьников любому предмету, в том числе математике, уточнив некоторые особенности обучения математике младших школьников с ЗПР в соответствие с объектом исследования перейдем к описанию содержания и особенностей изучения алгебраического материала в начальной школе.

Глава 2. Методические особенности изучения алгебраического материала в начальной школе

2.1 Содержание и особенности изучения алгебраического материала в начальной школе

В курсе математики начальной школы алгебраические понятия появились в 70-е годы ХХ в. в ходе реформы школьного образования. С тех пор алгебраический материал в той или иной мере присутствует в начальном обучении математике. В первой попытке представления алгебраический материал был очень объемным: буквенная символика, числовые и буквенные выражения, числовые равенства и неравенства, уравнения и неравенства с переменной. Затем этот объем сокращался. В 90-е годы с появлением альтернативных учебников, новых подходов к обучению, разные авторы по-разному определяли объем и роль алгебраического материала: от ключевого положения в содержании курса до представления только простейших уравнений. Опыт включения алгебраического материала показал, что он может эффективно выполнять функцию обобщения арифметического материала (понятий о числах, арифметических действиях и их свойствах), способствует повышению качества математического образования, повышает интерес к изучению математики, является подготовкой к изучению алгебры в старших классах [44].

В примерной программе по математике, составленной в соответствии с Федеральным государственным стандартом начального общего образования, раздел, относящийся к алгебраическому материалу, отсутствует [37]. Поэтому алгебраический материал в начальной школе является дополнительным и включается в содержание разделов «Числа и величины», «Арифметические действия», «Текстовые задачи», «Геометрические величины». Основной целью изучения алгебраического материала в начальных классах является получение младшими школьниками первоначальных сведений о числовых равенствах и неравенствах, понятии переменной, уравнениях, математических выражениях (числовых и буквенных); формирование умений вычислять значения выражений, решать уравнения различными способами, доказывать справедливость равенств и неравенств, а также решать некоторые видов задач алгебраическим способом [31].

Так как основу изучения алгебраического материала составляет формирование соответствующих понятий, рассмотрим теоретическую основу данного процесса. Прежде всего, отметим две их основные особенности математических понятиях. Во-первых, математическое понятие не существует в реальном мире, а возникает в сознании человека, во-вторых, является идеальным образцом заменяющими предметы и явления реального мира. Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Л.П. Стойлова отмечает, что под математическим понятием подразумевают «множество объектов, обозначаемых одним термином» [36].

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Например, когда используют термин «уравнение», то подразумевают множество всех математических записей, являющихся уравнениями. Это множество называют объемом понятия а – «уравнение».

Объем понятия – это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Объем понятия обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, B, С, …, Z.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами, которые можно разделить на 2 группы: существенные и несущественные.

Существенным называют такое свойство объекта, присущее ему, без которого он не может существовать.

Например, для понятия «уравнение» существенными являются следующие свойства: «является равенством», «содержит переменную».

Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

К несущественным можно отнести, например, то какая именно переменная использована в записи, какими числами являются коэффициенты уравнения и т.д.

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи. Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если АВ (АВ), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например, если а – «уравнение», b – «равенство», то их объемы А и В находятся в отношении включения (АВ и АВ), поскольку всякое уравнение является равенством. Поэтому можно утверждать, что понятие «уравнение» видовое по отношению к понятию «равенство», а понятие «равенство» – родовое по отношению к понятию «уравнение».

Если А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, тождественны понятия «уравнение» и «равенство с переменной», так как их объемы совпадают.

Говоря о понятиях рода и вида, нужно отметить, что они относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «равенство» – родовое по отношению к понятию «уравнение» и видовое по отношению к понятию «математическая запись». Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «уравнение» родовыми являются понятия «равенство», «математическая запись». Ближайшим для понятия «уравнение» при этом является понятие «равенство». К тому же, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, а – «уравнение», являясь видовым понятием по отношению к понятию «равенства», обладает всеми свойствами ему присущими.

Так как объем понятия – множество, удобно отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Изобразим на кругах Эйлера отношение между объемами понятий а – «уравнение» (А) и b – «равенство» (В).

Рисунок 3 – Изображение отношения между объемами понятий «уравнение» и «равенство»

О некоторых понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части, при этом часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, выражение можно рассматривать, как часть равенства.

Среди множества всех существенных свойств понятия можно выделить те, которых достаточно для его распознавания, именно они составляют определение понятия. Л.П. Стойлова дает следующее определение: «Определением называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения)» [36].

Определение можно разделить на две группы: явные и неявные.

Явные определения имеют форму равенства: «а есть b» (

). Читают данную запись: «а равносильно b по определению» или «а тогда и только тогда, когда b».

Наиболее часто определения математических понятий в явном виде дают через род и видовое отличие, где под видовым отличием понимают «свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия». Структура определения понятия через род и видовое отличие представлена на рисунке 1.

Определяющее понятие

Рисунок 4 – Определение понятия через род и видовое отличие

Приведем пример структуры определения «Уравнение – это равенство, содержащее переменную», данного через род и видовое отличие (Рисунок 5).

Определяющее понятие

Рисунок 5 – Структура определения понятия «уравнение» через род и видовое отличие

Формулируя определения понятий через род и видовое отличие, придерживаются ряда правил:

• определение должно быть соразмерным – объемы определяемого и определяющего понятия должно совпадать. Например, определение «Уравнение – это математическая запись, содержащее переменную» соразмерным не является, т.к. математической записью, содержащей переменную, является также буквенное выражение;

• в определении не должно быть порочного круга – нельзя определять понятие через само себя. Например, нельзя дать такое определение: «решением уравнение называется процесс, при котором уравнение решают»;

• определение должно быть ясным – значения терминов, входящих в определяющее понятие должны быть известны к моменту определении нового понятия. Например, нельзя определить уравнение как равенство, содержащее переменную, если понятие «переменная» еще не изучено;

• одно и то же понятие определить через род и видовое отличие можно по-разному: «Уравнение – это равенство, содержащее переменную» или «Уравнением называют высказывательную форму вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – два выражения с переменной x, X – область определения высказывательной формы». [40]

К неявным определениям, не имеющим формы совпадения двух понятий (нельзя выделить определяемое и определяющее понятия), относят контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст. Приведем пример: «Дана запись 3+□=9 и перечень чисел 2, 3, 6 и 7. Какое число нужно прибавить к 3, чтобы получилось 9? Обозначим неизвестное число – х (икс). Запись 3+х=9 –уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число х, в этом уравнении x=6, т.к. 3+6=9».

Остенсивные определения позволяют ввести термин путем показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например:

2+7 14–5 6+12 Числовые выражения

2+а 14–b с+12 Буквенные выражения

Отметим, вслед за Л.П. Стойловой, что остенсивные и контекстуальные определения характеризуются некоторой незавершенностью, они только связывают термины с определяемыми объектами [40].

Неявные определения часто используются в начальной школе. Например, среди алгебраических понятий в начальных классах явно вводится только понятие «уравнение», понятия «числовое равенство», «числовое неравенство», «числовое выражение», «буквенное выражение» вводятся неявно. Рассмотрим характеристики этих понятий, выделим важные для обеспечения понимания их смысла.

Записи вида a, b, 2, 2 + 3, 2·3, 12:3, a+b, a–b, a·b, a:b, 3·a+2, 2·(a–b), 7·a(b+13):(27 + 3) и т.д., то есть записи, составленные из чисел, букв, знаков действий и скобок называю выражениями. Выражения, записанные только с помощью чисел, знаков арифметических действий и скобок называют числовыми. Если в выражении есть хотя бы одна переменная, то оно называется буквенным или выражением с переменной.

Различия между числовыми и буквенными выражениями, по мнению С.Е. Царевой, в том, что числовое выражение однозначно задает конкретное число, способ получения которого из конкретных, известных чисел, записанных в выражении, задан (причем, у каждого числового выраже­ния — единственное числовое значение благодаря правилам порядка действий), а буквенное выражение такого определенного числа — значения выражения — не имеет. Буквенное выражение задает только зависимость между значениями буквы или букв и числовым значением этого выражения, которое меняется с изменением значений букв. Отсюда название буквенных обозначений чисел — переменная [44]. 

Выражения можно сравнивать по внешнему виду: какие знаки (буквы, числа, знаки действий) присутствуют в одном и другом выражении, поров­ну ли их, одни и те же это знаки или разные, есть ли скобки, одина­кова ли структура выражений и т.д. Умение устанавливать сходство и различия лежит в основе умения применять свойства арифмети­ческих действий при вычислениях, преобразованиях. Например, установление сходства и различия между выражениями из равенств (a+b)+c=a+(b+c), a+b=b+a, выражающих сочетательное и переместительное свойство, лежит в основе применения этих свойств в вычислениях: 23+19+7=19+23+7=19+30=49.

Отношения равенства и неравенства выражений определяют через отношения их числовых значений: два числовых выражения равны, если равны их числовые значения; одно числовое выражение боль­ше другого, если его числовое значение больше числового значения другого выражения. При сравнении числовых выражений выполняются соответствующие записи: числовые равенства, и числовые неравенства. Определим эти понятия.

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством.

Числовое равенство истинно, если значение числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают [34].

Например, 3 = 4 – неверное равенство, 2 + 3 = 3 + 2 – верное равенство.

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f >g (или f <g), которое называют числовым неравенством. Числовые неравенства, как и числовые равенства могут быть истинными и ложными.

Например, 7<5 – неверное неравенство, 7>5 – верное неравенство.

Буквенные равенства – это равенства с переменной (переменными), среди которых выделяют тождества и уравнения.

Для выражения называют тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называется тождеством [43]. Например, 4(x+3)=4x+12 – тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражений 4(x+3) и 4x+12 совпадают. В начальной школе термин «тождество» не используется, хотя сами тождества могут иметь место, если используется буквенная символика. Записи (a+b)+c=a+(b+c), a+b=b+a  являются тождествами.

Понятие уравнения было определено выше различными способами. Отметим, что решить уравнение – значит выполнить требование: найти такие значения переменной (переменных), при которых уравне­ние обращается в верное числовое равенство. Эти значения принято называть корнями уравнения.

Определив основные алгебраические понятия, рассмотрим далее, как авторы различных учебников математики видят временную целесообразность введения алгебраического материала. Анализ учебников математики различных УМК представлен в таблице 1.

Таблица 1 – Сравнительный анализ учебников математики различных УМК

Формируемое понятие	УМК «Школа России» Автор учебника: М.И. Моро	УМК «Гармония» Автор учебника: Н.Б. Истомина	УМК «Начальная школа ХХI века» Автор учебника: Н.В. Рудницкая
Числовое выражение	2 кл. 1 ч. 40 стр.	1 кл. 1 ч. 80 стр.	1 кл. 1 ч. 63 стр.
Буквенное выражение	2 кл. 1 ч. 76 стр.	4 кл. 2 ч. 81 стр.	4 кл. 1 ч. 117 стр.
Числовое равенство	1 кл. 1 ч. 28 стр.	1 кл. 1 ч. 82 стр.	1 кл. 1 ч. 40 стр.
Уравнение	2 кл. 1 ч. 80 стр.	4 кл. 2 ч. 72 стр.	4 кл. 2 ч. 77 стр.
Числовое неравенство	1 кл. 1 ч. 48 стр.	1 кл. 1 ч. 76 стр.	2 кл. 1 ч. 15 стр.

Можно сделать вывод о том, что программа «Школа России» предполагает раннее введение алгебраического материала (1, 2 класс) с последующим расширением представлений об изучаемых алгебраических понятиях. В то же время обучение по программе «Гармония» предполагает позднее введение таких алгебраических понятий, как буквенное выражение и уравнение. Более подробно на основании анализа учебников и учебно-методической литературы рассмотрим, как изучается алгебраический материал в курсе математики УМК «Начальная школа XXI века», т.к. именно на базе учебника Н.В. Рудницкой «Математика» 4 класса будет организована опытно-педагогическая работа [35]. Учебник математики построен на общей научно-методической основе, реализующей принцип комплексного развития личности младшего школьника, позволяющий организовать целенаправленную работу по формированию у учащихся важнейших элементов учебной деятельности, а также учитывать принцип дифференциации, который заключается как в отборе содержания обучения, так и в предъявлении к учащимся требований к математической подготовке. Формирование алгебраических умений в начальных классах занимает особое место. Необходимым условием повышения эффективности обучения является регулярность, строгая последовательность и система в проведении работы с алгебраическим материалом. Пропедевтика изучения алгебраического материала начинается со второго класса в тесной связи с арифметическим материалом. Во втором классе, опираясь на понятие о числовом луче, понятие числового равенства ученики рассматривают практические способы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. В четвёртом классе вводится понятие переменной, рассматриваются буквенные выражения и уравнения. Предполагается, что ученик научится различать числовое и буквенное выражения; конструировать буквенное выражение, в том числе для решения задач с буквенными данными; вычислять значения буквенных выражений при заданных числовых значениях, решать простейшие линейные уравнения на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатами действий.

Рассмотрев содержание алгебраического материала в начальной школе, перейдем к описанию методики его изучения, отметив также некоторые особенности изучения алгебраического материала младшими школьниками с ЗПР.

2.2 Методика изучения алгебраического материала в начальной школе.

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению таких понятий математики, определенных в предыдущем параграфе, как переменная, уравнение, равенство, неравенство и др., что способствует обобщению арифметических знаний. Вне зависимости от того, какое алгебраическое понятие изучается, выделяют 3 этапа его формирования:

• пропедевтический этап;

• непосредственно формирование понятия;

• расширение представления о понятии.

Введение определения понятия может быть реализовано в рам­ках различных методов обучения: конкретно-индуктивного и абстракт­но-дедуктивного. Введении алгебраического понятия конкретно-индуктивным методом предусматривает следующие этапы:

1. анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение);

2. выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют;

3. формулируется определение;

4. определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров;

5. происходит дальнейшее усвоение понятия и его определения в процессе их применения [44].

Например, ознакомление учащихся с уравнениями можно провести следующим способом:

1. На доске написать такие два ряда математических записей:

7+5=12 42:6=7

24:x=6 9+х=23

2. Выявление и отбор существенных признаков данных понятий. Например, учитель может дать учащимся такое задание: сравните записи, скажите, чем они различаются.

3. Формулировка определения этих понятий; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся).

4. Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся).

Абстрактно-дедуктивный метод реализуется по следующей схеме:

• формулируется определение понятия;

• приводятся примеры и контрпримеры;

• дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Например, понятие уравнения можно ввести следующим образом:

1. Дать определение нового понятия (Уравнением называется равенство, содержащее неизвестную).

2. Проиллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (x+12=0, y:6=36 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений понятия его определению. Привести контрпримеры понятия (спросить, например, учащихся, будет ли запись y–4 считаться уравнением и почему).

3. Привести примеры приложения понятия «уравнение» (например, использовать уравнение при решении текстовых задач).

Опишем далее некоторые методические особенности введения конкретных алгебраических понятий на основе анализа работ Л.П Стойловой и С.Е. Царевой [40, 43]. Рассматривая числовые выражения необходимо сформировать понятие:

1. о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел);

2. о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени (сложение и вычитание; умножение и деление);

3. о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

Выполняя операции над множествами, обучающиеся усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7–1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус». Затем учащиеся знакомятся с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания. Например, ученикам в качестве наглядности предлагается рассмотреть круги:

- Сколько красных кругов? (4) – Учитель записывает 4 на доске.

- Сколько жёлтых кругов? (3) – Учитель записывает 3 на доске.

- Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (Сложение) – Появляется запись: 4+3.

- Скажите, не считая, сколько всего кругов? (7)

- Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (Сумма четырех и трех равна 7).

Затем рассматриваются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4 –1–1, 7–4+3 и т.д.

Я.Я. Менцис предложил рассматривать с учениками текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.» а затем по этому тексту выполнять задания двух видов:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения: 24–6, 6+2, 6+2•3, 24–2, 24–(6+2), 24:6, 24–6•3, 6:2.

Для введения правил о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя». Например, учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений (31–24+7, 12+23–3, 36:2•6) у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты). Предлагает обучающимся самим найти значения выражений, сопоставить ответы с ответами, полученными учителем. Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило.

Затем рассматриваются более сложные числовые выражения, в том числе содержащие скобки (например, 74-48+2, 56+2+6-24, (56-48)+4, 72-(3+63) и т.д.). Позднее, на основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить.

Часто большую трудность у учеников вызывает чтение сложных выражений, для формирования этого умения М.А. Андреева рекомендует использовать схему:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении этого действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа [по 13].

Далее рассмотри особенности изучения буквенных выражений. Отметим, что подготовительная работа по раскрытию смысла переменной начинается ещё в первом классе. С этой целью на подготовительном этапе в учебник математики включаются задания, в которых переменная обозначается «окошком», кругом, троеточием и т.д. Например: 3+=5, 6–=5 и др.

На уроке по введению буквенных выражений Ильина Ольга Николаевна предлагает использовать пособие: картонный прямоугольник с «окошком» по прорезям которого передвигается лента с числами, перед (или за) окошком записаны знак арифметического действия и число. Учитель передвигает ленту, а дети читают и записывают выражения: 5+12, 5+6 и т.д.

Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы а, b, с и др. Затем вместо «окошка» записывают различные буквы, читают полученные выражения разными способами (5+с – сумма чисел 5 и с, 5 плюс с) и находят значения этого выражения, подставляя вместо «с» различные значения (можно изготовить несколько лент). Подчёркивается, что 12, 6, 17 - это значения буквы «с». 17, 12, 6 - это значения выражения 5+с при заданных значениях буквы «с».

Расширяя представления о понятии, можно поставить вопрос: «Любое ли число можно подставить вместо а в выражении а-8?» Обучающиеся могут предположить, что подставить можно любое число: 3, 5, 8, 10, 14 и др. Далее необходимо составить выражения и найти их значения. Обучающиеся записывают выражения 3-8, 5-8, 8-8, 10-8, 14-8. Выясняется, что значения первых двух выражений найти невозможно, т.к. уменьшаемое меньше вычитаемого.

На этапе закрепления выполняются учебные задания вида: «Найди значения выражений: а+8 и а-8 при а=27, а=30, а=52, а=64».

Полезно включать учебные задания, связанные с подбором значений переменных, обобщением и записью выражений с помощью букв:

а) «подбери значения переменных c и d, найди значения выражений c-d и составь таблицу»;

б) «подбери значения переменной а, найди значения выражения 21:а и составь таблицу»;

в) и т.д.

Понятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрываются во взаимосвязи. Числовые равенства и неравенства ученики получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками «>», «<», «=» соединяются не любые два числа или два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Два равных числа или два выражения, имеющие равные значения, соединенные знаком «=», образуют равенство. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально, на подготовительном этапе, у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1 >3, 3–1<З полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами.

Например, на классном наборном полотне и на партах отложено 3 треугольника и 3 круга и записано: 3 = 3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 треугольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1). Число кругов не уменьшилось (3). Учащиеся сравнивают число треугольников и кругов и убеждаются, что треугольников больше, чем кругов (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т. п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а = b, то b=a; если а>b, то b<а). Дети видят, что если кругов и треугольников поровну, то можно сказать, что кругов столько, сколько треугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кругов (5=3+2). Если же предметов не поровну, то одних больше (3+1>3), а других меньше (3<3+1).

Затем, у учеников формируется представление о том, что сравнить выражения – значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в соответствующей записи – 6+4>6+3.

Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 6+4 больше суммы 6+3, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй.

Таким образом, упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой – усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, выработке вычислительных навыков.

Перейдем к методическим особенностям формирования представлений об уравнениях. На подготовительном этапе к введению первых уравнений учащиеся устанавливают связь между компонентами и результатом арифметических действий, овладевают умением сравнивать выражение и число. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют задания на подбор пропущенного числа, например, в выражениях вида: 4+= 6, 5– =2, –3=7. В процессе выполнения таких заданий дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое), в дальнейшем – компоненты действий умножения и деления.

Знакомство с уравнением можно организовать, например, через решение задачи: «К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число». По данной задаче составляется равенство с неизвестным числом, которое может быть записано так: +3=8. Затем учитель предлагает ученикам вспомнить, как в математике принято обозначать неизвестное. Неизвестное число обозначается одной из строчных латинских букв, например, x, полученное равенство ученики читают вслух. Учитель поясняет, что такие равенства называют уравнениями, что решить уравнение – значит найти такое значение x, при котором равенство будет верным. Учащиеся упражняются в чтении («К какому числу надо прибавить 2, чтобы получить 9», «Первое слагаемое 4, второе неизвестно, сумма равна 7; чему равно второе слагаемое?» и др.), записи и решении уравнений. Сначала уравнения решают подбором: вместо неизвестного подставляют (например, с помощью разрезных цифр) одно за другим числа из множества чисел, данных в учебнике или учителем, пока не найдут такое, которое «подходит» (при котором получается верная запись).

В дальнейшем учитель показывает ограниченность и трудоемкость метода подбора, предлагая обучающимся такое уравнение, решение которого не столь очевидно, и которое подводит их к целесообразности использования другого метода его решения. Выполняются задания, связанные с нахождением неизвестного на основе знаний взаимосвязи компонентов действий: х+5=10; 5+х=9; 7–у=4; у–5=3. Например, учитель может спросить: «Какой компонент действия в уравнении x+5=10 неизвестен?», обучающиеся определяют, что в данном уравнении неизвестно первое слагаемое. Далее учитель задает вопрос «Как найти неизвестное слагаемое?», ученики вспоминают: чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Таким образом приходят к выводу: чтобы найти х, нужно из 10 вычесть 5 (х=10-5, х=5). Выполняют проверку и учатся оформлять решение следующим образом:

х + 40 = 96

х = 96 – 40

х = 56

56+40=96

96=96

Аналогично вводятся уравнения вида: x·3==12, 5·х=10, 15:х=5 и др., которые вначале решаются подбором. Данный способ решения применяют к уравнениям, где вычисления выполняются на основе знания табличных случаев арифметических действий. Таким образом, решение уравнений способствует усвоению таблиц и состава чисел из слагаемых, из множителей. Затем уравнения решают на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента. Е.Е. Маслова предлагает при этом воспользоваться памяткой:

Памятка: 1) прочитаю уравнение; 2) подумаю, какие значения может принимать х; 3) определю, каким компонентом действия является неизвестное число; 4) вспомню правило нахождения неизвестного числа; 5) найду неизвестное; 6) проверю.

На этапе расширения представлений о понятии «уравнения» рассматривают методику решения простых арифметических задач с помощью составления уравнений. По традиционной программе с помощью составления уравнений решаются с 4 класса простые арифметические задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является связь между компонентами и результатом арифметического действия [43].

Для решения задачи с помощью составления уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества.

В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений. На этапе подготовки должно быть сформировано представление об уравнении как равенстве, содержащем неизвестное число, и умение решать уравнения на основе знания связи между компонентами и результатами арифметических действий.

Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения по их условиям. Поэтому, начиная с 1 класса, вводится запись решения задач в форме выражения. Учащиеся упражняются в объяснении смысла выражений, составленных по условию задачи (например, объясняют, что обозначает сум­ма чисел 30 и 3, разность чисел 30 и 3, частное чисел 30 и 3, если 30 руб – цена книги, а 3 руб – цена тетради); сами со­ставляют выражения по заданному условию задачи (составьте выражение, которое обозначает стоимость двух книг, стоимость 5 тетрадей, стоимость двух книг и 5 тетрадей вместе), а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выра­жения. Запись решения задачи с помощью составления уравнения осуществляется с помощью составления выражения. Приведем пример.

Задача. После того, как с аэродрома улетело 4 вертолёта, там осталось 2 вертолёта. Сколько вертолётов было на аэродроме?

х (в.) – столько было на аэродроме,

х-4 (в.) – столько осталось на аэродроме,

2 (в.) – столько осталось на аэродроме.

Составляем уравнение: х–4=2

Решение уравнения:

х–4=2,

х=4+2,

х=6.

6–4=2,

2=2.

Ответ: 6 вертолётов.

Памятка при решении простой (а также составной) арифметической задачи с помощью составления уравнения может быть следующей:

Памятка по решению задачи с помощью уравнения: 1. Подумаю, что обозначу за х. 2. Подумаю, что буду уравнивать. 3. Составлю два выражения, выражающих значения одной и той же величины. 4. Запишу уравнение. 5. Решу уравнение. 6. Проверю. 7. Запишу ответ.

Описав методические особенности и некоторые приемы ознакомления младших школьников с алгебраическими понятиями, рассмотрим некоторые особенности обучения математике младших школьников с ЗПР.

Отметим в заключении, что к началу систематического обучения в силу особенностей познавательной деятельности практические знания, умения и навыки детей с ЗПР находятся на низком уровне развития. Для предотвращения возникновения трудностей при обучении математике необходима длительная подготовительная работа. Обучение в подготовительный период носит наглядно-действенный характер, поскольку все математические понятия ребенок усваивает в процессе работы с реальными предметами, с дидактическим материалом, наблюдая за практическими действиями педагога. Подготовительная работа должна помочь детям овладеть той суммой предварительных элементарных представлений, которые помогут им успешно овладеть учебной программой по математике в ходе дальнейшего обучения.

О.А. Алексеева выделила некоторые особенности алгебраического материала, влияющие на успешность его усвоения детьми с ЗПР, в том числе, отвлеченность языка алгебры, его формальный характер, алгоритмическая природа способов решения алгебраических задач и т.д. Однако низкая эффективность усвоения алгебраического материала детьми с ЗПР определяется, по ее мнению, не только сложностью познавательных задач, решаемых при его изучении, но и определенной недостаточностью познавательной деятельности учеников с ЗПР. Успешному усвоению алгебраического материала способствует обеспечение преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала, что придает обучению коррекционно-развивающий характер [по 43].

В заключении, отметим, что важным условием изучения алгебраического материала обучающимися с ЗПР в соответствие с рассмотренными содержание и методическими приемами является создание благоприятной обстановки в обучении (пробуждение интереса, формирование понимания возможности достижения успеха, осмысление практической значимости формируемых знаний и умений, накопление опыта успешной деятельности).

Таким образом, во второй главе были представлены результаты исследования методико-математической литературы: представлено содержание и особенности распределения алгебраического материала в современных учебниках математики, описаны методические приемы изучения основных алгебраических понятий.

Рассмотрев в ходе теоретического исследования приемы дифференциации обучения, в том числе математике, в начальной школе, особенности изучения алгебраического материала младшими школьниками, в ходе опытно-педагогической работы опишем, каким образом был реализован дифференцированный подход в обучении младших школьников с ЗПР в условиях общеобразовательного класса при изучении уравнений.

Глава 3 Опытно-педагогическая работа по выявлению влияния реализации дифференцированного подхода в обучении на уровень овладения младшими школьниками с ЗПР алгебраическим материалом

3.1 Организация и методы опытно-педагогической работы

Для доказательства гипотезы исследования на практическом уровне была проведена опытно-педагогическая работа на базе МБОУ «СОШ № 53 с углубленным изучением отдельных предметов», в 4 «Б» классе, занимающемся по системе «Начальная школа XXI века», авторы учебника математики – В.Н. Рудницкая и Т.В. Юдачева. В классе обучается 24 ученика. Работа проводилась в период с 20.04.2019 по 17.05.2019 и состояла из трех этапов. Рассмотрим подробно содержание каждого из этапов.

На 1 этапе с целью определения исходного уровня овладения алгебраическим материалом были использованы следующие методики: беседа с учителем; наблюдение; диагностическая контрольная работа.

С целью выявления трудностей, возникающих при изучении алгебраического материала у учеников класса с ЗПР, приёмов, используемых учителем при работе с алгебраическим материалом, была проведена беседа с учителем. По её итогам были сделаны следующие выводы: обучающимися класса изучены понятия: буквенные выражения, равенства, неравенства, уравнение. Сложность возникает при выполнении арифметических действий в сложных выражениях, оформлении решения заданий. В своей работе учитель использует различные виды наглядности, а также учитывает индивидуальные особенности обучающихся. У обучающихся с ЗПР низкий уровень сформированности изученных алгебраических понятий.

С целью выявления исходного уровня сформированности алгебраических понятий у обучающихся с ЗПР была проведена диагностическая контрольная работа по методике SAM П.Г. Нежнова, С.Ф. Горбова, О.В. Соколовой.

Материалы контрольной работы, задания которой на три блока, и критерии оценивания по уровням изученности алгебраических понятий размещены в приложении Ж, К, Л. Индивидуальные результаты выполнения диагностической контрольной работы представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Результаты диагностической контрольной работы по определению уровня сформированности у обучающихся основных алгебраических понятий на первом этапе

№ п/п	№ п/п заданий/ количество балов за задание					Всего	Уровень
	1	2	3	4	5
1	1	0	1	1	1	4	Низкий
2	0	1	2	1	1	5	Низкий
3	1	0	3	0	1	5	Низкий
4	0	0	1	2	1	4	Низкий

Отметим, что ученики в целом справляются с первым заданием, так как оно предполагает прямое применение правила нахождения неизвестного компонента арифметического действия, сложность вызывает оформление записи решения уравнения. При выполнении второго задания ученики испытали сложность, так как нужно было сначала проанализировать задание, найти корни уравнений, а затем расположить в порядке возрастания. Наибольшую трудность вызвало выполнение третьего задания, большинство учеников находят только один самый очевидный способ расстановки скобок.

Результаты распределения учеников по уровню сформированности алгебраических понятий по итогам диагностической работы №1 представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Результаты диагностической работы №1 по определению уровня сформированности у обучающихся основных алгебраических понятий

Уровень сформированности алгебраических понятий	Низкий	Средний	Высокий
Количество учеников класса	4	0	0

По результатам контрольной работы было выявлено, что все ученики овладели изученными алгебраическими понятиями на низком уровне (100% обучающихся

№ урока	Тема урока	Используемые приемы дифференциации обучения
1	Уравнение. Корень уравнения	Дробление большого задания на этапы
2	Уравнение вида x +5=7	Последовательное выполнение этапов задания с контролем каждого этапа
3	Уравнение вида x +5=7	Повторение учащимся инструкции к выполнению задания, использование маршрутного листа
4	Уравнение вида x +5=7	Предоставление дополнительного времени для завершения задания
5	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Осуществление повторности при обучении на всех этапах и звеньях урока
6	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Поэтапное разъяснение заданий с помощью карточки-помощницы, близость к учащимся во время объяснения задания
7	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Близость к учащимся во время объяснения задания, поэтапное разъяснение заданий с помощью карточки-помощницы
8	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Поэтапное разъяснение заданий с помощью карточки-помощницы Осуществление повторности при обучении на всех этапах и звеньях урока
9	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Близость к учащимся во время объяснения задания, поэтапное разъяснение заданий с помощью карточки-помощницы
10	Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2	Поэтапное разъяснение заданий с помощью карточки-помощницы; Осуществление повторности при обучении на всех этапах и звеньях урока

имеют низкий уровень, 0% обучающихся умеют средний уровень и 0% имею высокий уровень), что отражено на диаграмме на рисунке 6.

Рисунок 6 – Распределение учеников с ЗПР в соответствии с уровнем сформированности у обучающихся основных алгебраических понятий на 1 этапе

По результатам наблюдения за деятельностью обучающихся можно говорить также о том, что обучающиеся достаточно активно оперируют понятиями «числовое выражение», «неравенство», «буквенное выражение». Особую трудность у обучающихся вызывает понятие «уравнение». Обучающиеся не проявляют интерес при выполнении заданий, содержащих уравнения. Выполняя задание, не стремятся найти иной способ решения, не всегда могут дать полный правильный ответ на поставленный вопрос. Таким образом, результаты 1 этапа обосновывают необходимость проведения целенаправленной работы по формированию алгебраических понятий, в соответствии с условиями гипотезы на 2 этапе.

На втором этапе была поставлена цель: создать условия, описанные в гипотезе, для формирования алгебраических понятий у обучающихся, используя задания и приемы, отобранные на этапе теоретического исследования и по результатам 1 этапа. В таблице 5 представлены темы уроков, а также приемы дифференцированного обучения, которые были использованы на них.

Таблица5 – Используемые приемы дифференцированного обучения

Рассмотрим, например, как была организована деятельность на третьем уроке по теме «Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2» каждому учащемуся была дана индивидуальная маршрутная карта (прием «использование маршрутного листа») (Приложение Ж). Ученику с ЗПР выдан на карточке-помощнице алгоритм решения. В ходе индивидуальной работы с обучающимся с ЗПР был применен приём поэтапного разъяснения заданий с помощью карточки-помощницы. Далее была организована работа в группе. Каждая группа работала над одним из заданий: «Решите уравнение: 9+х=18», «Решите уравнение: 9•х=18», «Решите уравнение: 9-х=3», «Решите уравнение: 9:х=3». Ученикам было предложено самостоятельно решить уравнение и составить план его решения, задание для ученика с ЗПР было продублировано в его маршрутном листе. Двое учеников с ЗПР воспользовались желтой сигнальной картой для того, чтобы задать вопрос учителю по решению уравнения, один ученик обратился за помощью к товарищу по группе, последний ученик в целом справился с решением самостоятельно. По завершению индивидуальной работы, в соответствие с этапами организации групповой работы, ученикам в группах было предложено заполнить карточку-алгоритм решения уравнений своего вида.

По завершении работы над выданным заданием в группах, группы обменялись результатами выполнения задания. На данном этапе использовался фронтальный вид работы. Учитель помогал учащимся, используя наводящие вопросы. В ходе беседы был составлен общий алгоритм решения уравнений всех видов. По ходу обсуждения, ученику с ЗПР была дана карточка-помощница, в которой большое задание разделено на этапы (прием дробления большого задания на этапы). Карточка представлена в таблице 6.

Таблица 6 - Пример карточки-помощницы для обучающегося с нормой развития и для обучающегося с ЗПР по теме «Уравнение»

Для детей с ЗПР			Для детей с нормой развития
1.Выполни действия в правой части;		15 + 48 63	1.Выполни действия в правой части;
2.Реши получившееся уравнение: А) назови компоненты; Б) проговори правило; В) выполни решение;	: 7		2.Реши получившееся уравнение;
3.Выполни проверку: А) подставь в уравнение, записанное на карточке, вместо найденное число Б) выполни действие в левой и правой части; В) сравни полученные числа	63 = 63 – верно		3.Выполни проверку
4. Запиши ответ	Ответ: 9		4. Запиши ответ

Далее группам было выдано следующее задание: решить уравнения другого вида, например, тем, кто решали уравнения вида 8•х=16, было предложено решить уравнения вида 8–х=2. При объяснении материала ученику с ЗПР использовался так же приём «близость к учащимся во время объяснения задания». На протяжении всей работы ученики оценивали себя на каждом этапе в индивидуальном маршрутном листе. В конце урока, в отличие от обучающихся с нормой развития, которым было дано задание из учебника, обучающимся с ЗПР было дано индивидуальное задание по работе с интерактивным тренажером (приложение Д). После уроков с обучающимися с ЗПР и их родителями была проведена индивидуальная работа, на которой родителям объяснялась цель данного задания, была дана инструкция по работе с тренажером. Так же обучающему с ЗПР была дана карточка-помощница по работе с тренажером. На выполнение задания и фиксацию результатов родителями было предоставлено дополнительное время.

Прием поэтапного разъяснения заданий с помощью карточки-помощницы использовался во фронтальной, индивидуальной, групповой деятельности, а также на разных этапах урока.

Например, при изучении темы «Нахождение неизвестного числа в равенствах вида: 8+х=16, 8•х=16, 8-х=2, 8:х=2» было дано задание решить уравнение

по образцу. Образец предоставлялся каждому ученику. Обучающиеся с нормой без труда выполнят это задание. Для обучающегося с ЗПР была подготовлена карточка с развёрнутым алгоритмом действий и примером оформления решения, что позволило активизировать деятельность учеников с ЗПР и трое из 4 справились с заданием без подсказки учителя. Обучающиеся с ЗПР завершили задание одновременно с обучающимися с нормой развития.

Работа на остальных уроках строилась аналогичным образом. Описав некоторые особенности организации работы на 2 этапе ОПР, перейдем к анализу полученных результатов.

3.2 Анализ результатов педагогического исследования

С целью оценки динамики уровня сформированности изученных алгебраических понятий по итогам 2 этапа ОПР, на третьем этапе была проведена повторная диагностическая контрольная работа, которая показала, что за время опытно-педагогической работы уровень сформированности алгебраических понятий у обучающихся с задержкой психического развития изменился в лучшую сторону, о положительной динамике свидетельствует увеличение числа баллов, полученных за выполнение заданий каждым учеником.

Индивидуальные результаты выполнения диагностической контрольной работы представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Результаты диагностической контрольной работы по определению уровня сформированности у обучающихся основных алгебраических понятий на первом этапе

№ п/п	№ п/п заданий/ количество балов за задание					Всего	Уровень
	1	2	3	4	5
1	1	1	3	3	2	10	средний
2	0	1	4	3	1	9	средний
3	1	0	2	4	1	8	средний
4	1	1	1	1	0	4	низкий

3 ученика из 4 справились с выполнением первого и второго задания. При выполнении 1 задания второй ученик допустил арифметическую ошибку, также у него были трудности в оформлении решения. При выполнении второго задания третий ученик проанализировал задание, решил уравнение, но забыл расположить корни уравнения в порядке возрастания. При выполнении третьего задания три ученика из четырех справились с заданием, хотя и не нашли все варианты расстановки скобок, один ученик не приступил к решению данного задания.

Оценка выполненных работ осуществлялась по тем же показателям и с использованием той же шкалы, что и на 2 этапе. Результаты распределения учеников по уровню сформированности алгебраических понятий по итогам диагностической работы № 2 представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Результаты диагностической работы № 2 по определению уровня сформированности алгебраических понятий

Уровень сформированности алгебраических понятий	Низкий	Средний	Высокий
Количество учеников класса данного уровня	1	3	0

По результатам данной комплексной диагностической работы было выявлено, что только 25% обучающихся имеют низкий уровень, 75% средний уровень, высокий – 0%, что отражено на диаграмме на рисунке 7.

Рисунок 7 - Распределение учеников с ЗПР в соответствии с уровнем овладения изученным алгебраическим материалом на 3 этапе.

Сравним результаты двух диагностических работ.

1 ученик по результатам первой работы набрал 4 балла и у него был низкий уровень овладения алгебраическим материалом, по результатам второй работы – 10 баллов и ученик перешел с низкого уровня на средний уровень.

2 ученик по результатам первой работы получил 5 баллов, низкий уровень; по результатам второй работы – 9 баллов, средний уровень овладения алгебраическим материалом.

3 ученик по результатам первой работы – 5 баллов, низкий уровень; второй работы – 8 баллов, средний уровень.

4 ученик по результатам первой работы набрал 4 балла и находился на низком уровне овладения алгебраическим материалом, по результатам второй работы ученик набрал также 4 балла и остался на низком уровне, но при этом ученик стал охотнее выполнять задания и аккуратнее их оформлять.

Сравнительный анализ распределения учеников с ЗПР в соответствии с уровнем овладения изученным алгебраическим материалом на 1 и 3 этапах представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Сравнительный анализ распределения учеников с ЗПР в соответствии с уровнем овладения изученным алгебраическим материалом на 1 и 3 этапах представлен на рисунке 8.

Повторная диагностическая контрольная работа показала, что за время опытно-педагогической работы уровень овладения алгебраическим материалом обучающихся с задержкой психического развития изменился в лучшую сторону: количество баллов, полученных за выполнение заданий каждым учеником увеличилось, что говорит о положительной динамике в изучении алгебраического материала и определяет значимость работы, проведенной на втором этапе.

Таким образом, можно, говорить о том, что гипотеза подтверждена на теоретическом и практическом уровне.

Заключение

В соответствии с поставленными задачами исследования в первой главе были рассмотрены психолого-педагогические основы реализации дифференцированного подхода в обучении. Дифференцированный подход определен как форма организации учебного процесса, при которой учитель работает с группой учеников, составленной с учетом наличия у них каких-либо значимых для учебного процесса общих качеств. Описаны различные модели реализации дифференцированного подхода в обучении, существующие в мировой практике, выявлены положительные черты осуществления дифференциации обучения и трудности в ее реализации. Описаны различные приемы осуществления дифференциации обучения в учебном процессе.

Во второй главе рассмотрены методико-математические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе. Определены на основе анализа ФГОС НОО результаты, которых должен достигнуть младший школьник при изучении алгебраического материала. На основе анализа авторских программ Н.Б. Истоминой, М.И. Моро, В.Н. Рудницкой, рассмотрена последовательность изучения основных алгебраических понятий в начальной школе; приведены некоторые методические особенности изучения алгебраического матриала в курсе математики начальной школы.

Для доказательства гипотезы на практическом уровне, была проведена опытно-педагогическая работа, состоящая из трех этапов. На первом этапе на основании беседы с учителем, диагностической контрольной работы, наблюдения выявлены уровни овладения алгебраическим материалом обучающихся класса с ЗПР. На втором этапе с целью формирования алгебраического понятия «уравнение» были реализованы описанные в работе приемы дифференциации, в том числе прием повторения учащимся инструкции к выполнению задания, поэтапного разъяснения заданий с помощью карточки-помощницы, близости к учащимся во время объяснения задания. Большую роль в организации деятельности на 2 этапе ОПР, на наш взгляд, сыграло использование маршрутных листов. Относительная эффективность использования приемов подтверждается результатами, полученными на контрольном этапе.

По результатам исследования были сформулированы следующие методические рекомендации:

1. Организовывать работу на уроках математики посредством использования дифференцированных маршрутных карт, обеспечивающих не только взаимосвязь индивидуальной, групповой и фронтальной форм работы обучающихся, но и большое количество проб в одних и тех же условиях, способствующих освоению способов деятельности.

2. Дробить задание на короткие отрезки и предъявлять ребенку поэтапно, формулируя задачу предельно четко и конкретно.

3. Организовать групповую работу на основе комплектования разноуровневых групп с учетом уровня умственного развития учащихся и их потенциальных возможностей; обеспечивать активизацию работы обучающихся с ЗПР в группе посредством использования карточек-помощниц, памяток и т.д.

4. При определении содержания домашней работы использовать возможности интерактивных тренажеров.

Перспективным направлением исследования считаем рассмотрение реализации дифференцированного подхода в обучении как средства формирования у младших школьников с ЗПР умения решать составные текстовые задачи.

Список использованных источников

1. Абрамсон, Я.И. Математика по методике / Я.И. Абрамсон. - М.: Академия, 2015. – 117 с.

2. Анцыферова, Л.И. Личность в трудных жизненных условиях: переосмысление, преобразование ситуаций и психологическая защита / Л.И. Анцыферова. - М.: Просвещение, 2016. – 217 с.

3. Басалаева, Н.М. Принципы гуманистической психологии как основа изучения литературы / Н.М. Басалаев. – М.: Просвещение, 2001. – 167 с.

4. Берулаева, М.Н. Общедидактические подходы к гуманизации образования / М.Н. Берулаева. – М.: Просвещение, 1995. – 134 с.

5. Боденко, Б.Н. Анализ психологических предпосылок неуспеваемости и способы ее коррекции на начальном этапе обучения / Б.Н. Боденко. - М.: 1989. - 130 с.

6. Большаков, В.И. Психотренинг: социодинамика, игры, упражнения / В.И. Большаков. – М.: Просвещение, 1994. - 315 с.

7. Брунер, Д. Ж. Психология познания / Д.Ж Брунер. - М.: Прогресс, 1977. - 412 с.

8. Бутузов, И. Д. Дифференцированный подход к обучению учащихся на современном уроке / И. Д. Бутузов. - Новгород: 1972. – 234 с.

9. Вахнянская, И.Л. Учебная деятельность сквозь зеркало двух парадигм / И.Л. Вахнянская. – М.: Прогресс, 1996. – 146 с.

10. Волик, Г.Д. Педагогические взгляды Марии Монтессори и их влияние на образовательную систему США / Г.Д. Волик. – Волгоград: Акадэм, 2001. - 179 с.

11. 29. Воробьев, Н.Е. Развитие содержания среднего образования в США / Н.Е. Воробьев. - Волгоград: ВГАФК, 1997. - 194 с.

12. Вульфсон, Б. Л. Сравнительная педагогика / Б.Л. Вульфсон, З.А Малькова. – М.: Академия, -1996. - 256 с.

13. Гонеев, А.Д. Основы коррекционной педагогики: учеб. пособие / А.Д. Гонеев, Н. И. Лифинцева, Н. В. Ялпаева. М.: Академия, 2002. – 235 с.

14. Демакова, И. Д. Воспитание в условиях гуманизации образования / И. Д. Демакова. – М.: Академия, 2000. – 110 с.

15. Джуринский, А.Н. Развитие образования в современном мире / А.Н. Джуринский. – Ярославль,1999. - 199 с.

16. Зимняя, И.А. Педагогическая психология / И.А. Зимняя. - М.: Логос, 2000. - 384с.

17. Истомина, Н.Б. Учебники математики для 1 – 4 классов / Б.Н.Истомина. – М.: Академия, 2011.

18. Кларин, М.В. Инновационные модели обучения в зарубежных педагогических поисках / М.В.Кларин. - М.: Просвещение, 1994. - 289 с.

19. Кулюткин, Ю.Н. Личность: внутренний мир и самореализация. Идеи, концепции, взгляды / Ю.Н. Кулюткин. – Спб.: Тускарора, 1996. – 97 с.

20. Кумбс, Ф.Г. Кризис образования в современном мире / Ф.Г. Кумбс. - М.: Академия, 1970. - 276 с.

21. Лазарева, Е. А. Примите меры! / Е.А. Лазарева // Первое сентября. – 2016. -№79. – С.15 – 17.

22. Леонтьев, Д.Р. Психология с человеческим лицом: гуманистическая перспектива в постсоветской психологии / Д. Р. Леонтьев. - М.: СМЫСЛ, 1997. – 98 с.

23. Лещинский, В.М. Учимся управлять собой и детьми / В.М. Лещинский. - М.: Просвещение: Владос, 1995. – 235 с.

24. Линде, Э. Педагогика личности / Э. Линде. - Спб.:КультИнформ-Пресс, 1956. - 195 с.

25. Логинова, Л.Г. Сущность результата дополнительного образования детей / Л.Г. Логинава. – М.: Просвещение, 2002. – 135 с.

26. Малькова, З.А. Школа и педагогика за рубежом / З.А. Малькова. - М.: Просвещение, 1983. - 367 с.

27. Маншкова, А.Д. Методологические проблемы сравнительной педагогики / А.Д. Маншкова. - Спб.:КультИнформ-Пресс, 1991 - 315 с.

28. Мидор, Б., Роджерс К. Личностно-центрированная терапия // Журнал практической психологии и психоанализа 4 декабрь 2002 г.

29. Моро, М.И Учебники математики для 1 – 4 класса / М.И. Моро, С.В Степанова, С.И Волкова. – М.: Просвещение, 2011

30. Никишина, В. Б. Практическая психология в работе с детьми с задержкой психического развития: пособие для психологов и педагогов / В.Б. Никишина. – М.: ВЛАДОС, 2004. – 204 с.

31. Орлов, А.Б. Психология личности и сущности человека: парадигмы, проекции, практики. / А.Б. Орлов. - М.: Академия, 1995. - 384 с.

32. Перлман, Д. Теоретические подходы к одиночеству / Д.Перлман. – М.: Просвещение, 2000. – 381 с.

33. Петровская, Л.А. Теоретические и методические проблемы социально-психологического тренинга / Л.А. Петровская. - М.: МГУ,1982 – 94 с.

34. Пилиповский, В.Я. Рационалистическая модель школы и процесса обучения на Западе / В.Я. Пилиповский // Педагогика. - 1993.- №2. - С. 107-110

35. Пышкало, А.М. Основы начального курса математики / А.М. Пышкало, Л.П Стойлова. – М.:Просвещение,1988.- 320с.

36. Ричмонд, У. Учителя и машины / У. Ричмонд. - М.: Просвещение, 1968 - 277 с.

37. Роджерс, К. Клиентоцентрированный/человекоцентрированныи подход в психотерапии / К. Роджерс. – М.: МГУ. - 158.

38. Роджерс, К. Свобода учиться / К. Роджерс, Д. Ж. Фрейберг. – М.: Смысл, 2002. - 527с.

39. Рудницкая, В.Н Учебники по математике для 1 – 4 классов / В.Н. Рудницка, Т.В. Юдачева. – М.: Вентана-Граф, 2007

40. Стойлова, Л.П. Теоритические основы начального курса математики / Л.П. Стойлова. - М Академия, 2014

41. Унт, И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения / И. Э Унт. - М.: Педагогика, 1990. – 217 с.

42. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования с ограниченными возможностями здоровья ФЗ № 661 от 17 февраля 2016 года

43. Чередов, И. М. О дифференциации обучения на уроках / И. М. Чередов. - Омск, 1973.

44. Царева, С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе / С.Е. Царева. – М.: Академия, 2014. – 495 с.

Приложения

Приложение А

Примеры дидактических игр

Викторина – это игра, во время которой учащиеся отвечают на вопросы. Выигрывает тот, кто дает больше правильных ответов. При отработке навыков устных вычислений, викторина проводится в начале урока, при проверке знаний и умений учащихся – в конце урока. Викторина способствует активизации умственной деятельности школьников на уроке. Класс делится на три команды по числу рядов. Баллы, заработанные во время викторины, записываются на доске.

Математический турнир. Турнир проводится в конце урока, когда ученики немного устали. Класс делится на две команды. Каждая команда получает задание: 2-3 задачи или 5-6 уравнений. Члены команды могут консультироваться друг с другом. Через 8-10 минут начинаем турнир. Капитаны команд вызывают по одному участнику команды соперников. Эти два ученика обмениваются заданиями, идут к доске и начинают решение, затем вызывается другая пара учеников и так далее. Побеждает та команда, которая правильно решит и объяснит наибольшее количество заданий другой команды. За ответами следят все учащиеся. Учитель выступает в роли арбитра. Обычно на такие турниры отводят 15-20 минут. Количество заданий определяется многими факторами: целью турнира, наличием времени, содержанием заданий, составом играющих.

Эстафета. Каждый ряд получает таблицу с «форточками». Таблицу кладут на одну парту, и по команде ученик заполняет первую пустую клетку. Закрыв первую «форточку», он передаёт таблицу своему соседу и т.д. Последний ученик в ряду бежит к моему столу. За быстрое решение дополнительно даётся один балл. При проверке я учитываю правильность заполнения таблицы. Обычно за каждую правильно заполненную клетку – один балл. При подведении итогов учитывается поведение всего ряда во время эстафеты.

Аукцион. Задание состоит в том, чтобы составить цепочку алгебраических терминов по такому принципу: каждый следующий термин начинается с той буквы, какой оканчивается предыдущий. Буква «ь» во внимание не берётся. Основное условие: принимаются только те термины, которые имеют прямое отношение к изученному материалу. Если на одну букву будет предложено несколько терминов, то в чайнворд записывается тот термин, который назвали последним. Если на последнюю букву названного термина не находится предложений, то берется предыдущая буква в этом слове и т.д. Соревнование заканчивается, когда на доске записано цепочка терминов и следующих предложений нет. В процессе записи терминов над каждым из них ставят номер соответствующей команды. Побеждает та команда, у которой набралось наибольшее число терминов.

Приложение Б

Загадки об алгебраических понятиях:

1.Неизвестное х, неизвестное у,

Их можно в равенствах повстречать.

И это, ребята, скажу вам, не игры,

Здесь нужно решение всерьез отыскать.

С неизвестными равенства, без сомнения,

Называем, ребята, мы как? Ответ: Уравнения

2.Простое деление. 

Переместите одну цифру так, 

Чтобы получить правильное ... Ответ: Уравнение

3.Влюбиться можно только раз,

И заблудиться без сомнений,

В душевности сердечных фраз,

Решив задачу ...! Ответ: Уравнений

Пример ребуса:

- «уравнение».

Приложение В

Интерактивный тренажер 1: «Мудрая Сова» со звуковым сопровождением

Цель обучающей программы: развить навык счета у младших школьников

Пример страницы:

Интерактивный тренажер 2: «Таблица умножения в мультиках 2.0»

Цель обучающей программы: поэтапно изучить таблицу умножения с использованием картинок и мелодий из мультфильмов.

Примеры страниц:

Интерактивный тренажер 3: «Таблица деления в мультиках»

Цель обучающей программы: изучить таблицу деления с использованием картинок и мелодий из мультфильмов.

Примеры страниц:

Интерактивный тренажер 3: «imeMove - движение во времени»

Цель обучающей программы: помочь в понимании и решении множества различных математических задач на скорость движения, благодаря демонстрации процесса движения одного или двух объектов в зависимости от таких параметров как время, скорость и путь.

Примеры страниц:

Приложение Г

Диагностическая контрольная работа
(По методике П. Г. Нежнова, Е. Ю. Кардановой)

1.а) Найдите корень уравнения: x – 45 = 256 б) Решите уравнение: 145 + x =278	Задания предполагают прямое применение правила нахождения неизвестного компонента арифметического действия (сложение и вычитание).
2. а) Запишите корни уравнений в порядке возрастания: А) 568 + x = 2967 Б) x – 78 = 567 В) x + 98 = 156 б) Запиши уравнение и реши его. Коля положил перед собой несколько фигур. Когда он добавил 12 фигур, их стало 31. Сколько фигур положил перед собой Коля первоначально.	Для выполнения задания нужно его проанализировать, выявить, что сначала необходимо найти корни уравнения. Понятия и правила в этом задании не скрыты.
	Задание предполагает анализ текста, определение неизвестной, выполняемого действия, запись уравнения. Затем опять используется правило.
3. а) Расставь скобки двумя способами так, чтобы число 5 было корнем уравнения. 15 + 78 - x + 19 = 79 б) Какой самый большой корень может получиться, если в уравнении x - A3B = BC5, буквы A,B,C заменить цифрами (Разные буквы заменяются разными цифрами)	В задании нужно определить и опробовать все возможные варианты расстановки скобок. Наиболее ненаглядными вариантами являются случаи скобок в скобках. Именно таким является подходящий вариант.
	В это задаче важным условием является повторение буквы B. Именно оно порождает неравноценность замены A или B на 9 и тем самым необходимость рассмотрения разных вариантов.

Оценивание
(По методике П. Г. Нежнова, Е. Ю. Кардановой)

1 уровень	мера обобщенности способа минимальна и охватывает узкий спектр стандартных ситуаций. Ориентировка опирается на непосредственные ассоциативные связи. Действие на этом уровне есть в сущности результат механического запоминания алгоритма или схемы решения некоторого набора однотипных по сути и по внешнему виду задач. Знание, которым в этом случае владеет учащийся, можно образно назвать «рецептурным».
2 уровень	возможность решать весь класс задач, отвечающих данному способу. Ориентировка опирается на умственную структуру, которая фиксирует существенное отношение объектной ситуации. В психологии такие структуры обозначаются термином «гештальт», а учителя в таких случаях говорят, что ребенок начал понимать предметный материал, а из условий задач научился извлекать существенное
3 уровень	способ действия характеризуется функциональностью, т.е. успешно применяется в разных контекстах. Ориентировка третьего уровня опирается на синтетическую функционально-смысловую структуру, которая удерживает поле возможностей данного способа действия с его границами. Об учащемся, демонстрирующем такой уровень, учитель может сказать, что тот владеет материалом свободно и может применять его осмысленно в любом контексте.

Приложение Д

Пример интерактивного тренажера «Уравнение»

Приложение Ж

 

Индивидуальный маршрут для обучающихся с ЗПР:

Приложение К

Карточка 1
Реши уравнения:	Алгоритм действий	Образец выполнения
	1.Выполни действия в правой части;		15 + 48 63
	2.Реши получившееся уравнение: А) назови компоненты; Б) проговори правило; В) выполни решение;	: 7 = 9
	3.Выполни проверку: А) подставь в уравнение, записанное на карточке, вместо найденное число Б) выполни действие в левой и правой части; В) сравни полученные числа	63 = 63 - верно
	4. Запиши ответ	Ответ: 9

Приложение Л

Карточка 2
Реши задачу: «В классе мальчиков больше, чем девочек в 5 раз. Сколько мальчиков в классе, если всего их 35 человек.»
35 Д: М:	I.Этап: прочти задачу, составь краткую запись. II.Этап: замени неизвестную наименьшую величину буквой Х. III.Этап: составь и реши уравнение: IV.Этап: выбери ответ: V.Этап: запиши ответ
Карточка 3 (работа в паре)
Решите уравнения:	1.Выполни действия в правой части; 2.Реши получившееся уравнение: А) назови компоненты; Б) проговори правило; В) выполни решение; 3.Выполни проверку: А) подставь в уравнение, записанное на карточке, вместо найденное число Б) выполни действие в левой и правой части; В) сравни полученные числа 4. Запиши ответ

Карточка 4
Маша собрала 13 ягод, Никита – в 3 раза больше, чем Маша. Сколько собрал ягод Петя, если он собрал столько же, сколько Маша и Никита вместе?
М: Н: П: 13 я. 13 я. 13 я. 13 я. 13 я. 13 я. 13 я. 13 я.	1.Прочитай задачу. Составь краткую запись. 2. Замените неизвестную наименьшую величину буквой x 3. Составь и реши уравнение (образец в карточке 1) 4. Выбери и запиши ответ

Приложение М

Фрагмент урока на тему «Уравнение»

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	Примечание
2. Актуализация знаний фиксация затруднения Формулирование темы урока, постановка цели.	- Посмотрите на записанные выражения. 532•с=2128  48 – 13 =36           12308 <12380           353 + 42=395 600:10=6                 3510<3015               а+14=70      7200: 9=800 - На какие 2 группы их можно разделить? - Назовите верные равенства. - Назовите верное неравенство. - Назовите неверное равенство. -Назовите неверное неравенство. - К какой группе относятся оставшиеся выражения? Почему вы не смогли этого определить? - А почему вы их не назвали, когда называли верные и неверные равенства? - Предположите, какова же будет тема нашего урока. - Какую цель поставим?	Обращают свое внимание на записи на доске равенства и неравенства 7200:9=800, 600:10=6, 353 + 42=395 12308<12380     48 – 13 =36 3510<3015 не знаем     Мы это не изучали. Нельзя сказать верное или неверное, потому что не хватает чисел равенства с буквами узнать, как найти значение равенств с буквами	Для обучающихся с ЗПР– карточка-помощница Тему и цель фиксирую на доске. (для ученика с ЗПР даю карту урока)
3.Открытие нового 4.Первичное закрепление. 5.Самостоятельная работа с самопроверкой	- Может быть кто-то знает, как называются такие равенства? -Правильно, уравнения. - Что такое уравнение? Если не ответят, то откройте учебник на странице…, прочитайте тему нашего урока. Так что же такое уравнение? Прочитайте на странице… - Запишите уравнения к себе в тетрадь. -Ребята, а как же уравнять правую и левую часть равенства? Какие у вас есть предложения? - Сверим ответ с учебником на с. 73. -А как называется это число?         -Наши верные помощники Миша и Маша уже решили несколько уравнений в № 261.  Обсудите в парах, каким способом они это сделали? -  Давайте их вспомним - По какому плану они действовали?                                               План. Прочитай уравнение. Определи неизвестный компонент. Вспомни правило, как можно его найти. Реши. Сделай проверку. -А теперь вас ждёт работа в группах. У каждой группы зашифровано предложение. Вам нужно его расшифровать. Инструкция написана на листе. «Реши уравнение, используя взаимосвязь компонентов действия. Выбери слово, соответствующее корню уравнения. Составь предложение».	уравнения равенство, содержащее неизвестное число, заменённое буквой латинского алфавита Записывают уравнение в тетрадь. нужно найти такое число, которое нужно записать вместо буквы, чтобы получилось верное числовое выражение) Корень уравнения Строят понятные для партнёра высказывания. Контролируют свои действия и действия партнёра. по правилам взаимосвязи между компонентами арифметических действий Находят корни уравнений; выбирают верное правило при нахождении корня уравнения; учатся работать  Слушают информацию Выполняют задания в соответствии с инструкцией	Обучающемуся с ЗПР выдаю инструкцию к заданию Близость к учащимся с ЗПР во время объяснения задания Повторение учащимся инструкции к выполнению задания Близость к учащимся с ЗПР во время объяснения задания План размещен на доске, для об - ся с ЗПР на парте Близость к учащимся с ЗПР во время объяснения задания. Инструкция написана на листе. Об-ся с ЗПР в роли хронометражиста.